% EVD_matfuns--sent

close all;
clear all;
format compact;
format short;
warning off;

% zastosowania EVD w funkcjach macierzowych
% -- "domena" matematykow i fizykow
% -- (na naszym przedmiocie nieco mniej eksploatowane)
% -- -- ... moze troszeczke w PCA i MDS
% zrozumienie: bardzo przydatne!

M = [3 1;2 2]
[K,L] = eig(M)
% K*L*inv(K) ("pelny")
% czy K jest odwracalna?
det(K)
inv(K)
K*L*inv(K)
% K*L*inv(K) ("uproszczony")
% czy K jest ortogonalna?
det(K)
K'*K
[inv(K) K']
K*L*K'

% WSZEDZIE DALEJ ZAKLADAMY: 
% analizowana macierz posiada rozklad EVD /w postaci K*L*inv(K)/
% (co oznacza, ze macierz K posiada odwrotnosc)

M
K*L*inv(K)

% "symetria" funkcji "diag"

d = diag(M)
diag(d)
diag(diag(M))

l = diag(L)
diag(l)

K*diag(l)*inv(K)
M

l = [5;3]
diag(l)
K*diag(l)*inv(K)
M

l = [16;1]
diag(l)
K*diag(l)*inv(K)

M*M

% druga potega, piata potega  (wykladnik calkowity dodatni)

l = diag(L)
l.^2
diag(l.^2)
K*diag(l.^2)*inv(K)
M*M

K*diag(l.^5)*inv(K)
M*M*M*M*M

% problem: wartosci i wektory wlasne potegi macierzy (takze innych funkcji) macierzy posiadajacych EVD

[K,L] = eig(M*M*M*M*M)
diag(l.^5)

% wysoka potega (wykladnik calkowity ujemny)
% -- zyski obliczeniowe!

Big = randn(1000,1000)/32; %e=abs(eigs(M,1)), e^100

[K,L] = eig(Big);
diag(L)
Bp100 = K*diag(diag(L).^100)*inv(K);

clear all;

% pierwiastek (wykladnik ulamkowy dodatni)

M = [3 1; 2 2]
[K,L] = eig(M)

K*diag(diag(L).^2)*inv(K)
M*M
K*diag(diag(L).^5)*inv(K)
M*M*M*M*M
K*diag(diag(L).^100)*inv(K)
M^100

K*diag(diag(L).^(1/2))*inv(K) % pierwiastek kwadratowy
M^(1/2)
K*diag(diag(L).^(1/5))*inv(K) % pierwiastek piatego stopnia
M^(1/5)

% odwrotnosc (wykladnik -1)

K*diag(diag(L).^(-1))*inv(K)
inv(M)

% odwrotnosc potegi (wykladnik calkowity ujemny)

K*diag(diag(L).^(-2))*inv(K)
inv(M*M)
M^(-2)
K*diag(diag(L).^(-5))*inv(K)
inv(M*M*M*M*M)
M^(-5)

% wykladnik dowolny (rzeczywisty)

pi
K*diag(diag(L).^pi)*inv(K)
M^pi
-(1/pi)
K*diag(diag(L).^-(1/pi))*inv(K)
M^(-1/pi)

% wykladnik dowolny (zespolony)

i
K*diag(diag(L).^i)*inv(K)
M^i

1-i
K*diag(diag(L).^(1-i))*inv(K)
M^(1-i)

% co, gdy wykladnik --> 0?
K*diag(diag(L).^0)*inv(K)

% co, gdy wykladnik --> +inf?
K*diag(diag(L).^100)*inv(K)

% co, gdy wykladnik --> -inf?
K*diag(diag(L).^-100)*inv(K)

% inne funkcje (exp(M), log(M))

% exp(M)

diag(L)
exp(diag(L))
K*diag(exp(diag(L)))*inv(K)

% exp(M)

diag(L)
log(diag(L))
K*diag(log(diag(L)))*inv(K)