% EVD_example--sent

close all;
clear all;
format compact;
format short;
warning off;

% wartosci wlasne macierzy
M = [3 1;2 2]

det(M)

P = eye(2)*2
M - P
det(M - P)

l = eig(M)

P = eye(2)*l(1)
M - P
det(M - P)

P = eye(2)*l(2)
M - P
det(M - P)

det(M)
prod(l)

trace(M)
sum(l)

% wektory wlasne macierzy
k = [1;2]
M*k

[K,~] = eig(M)

k = K(:,2)
M*k
k*1
k = K(:,1)
M*k
k*4

% rozklad EVD macierzy
L = diag(l)
[K,L] = eig(M)
% K*L*inv(K) ("pelny")
% czy K jest odwracalna?
det(K)
inv(K)
K*L*inv(K)
[M K*L*inv(K)]
% K*L*inv(K) ("uproszczony")
% czy K jest ortogonalna?
det(K)
% [K' K]
K'*K
[inv(K) K']
K*L*K'
[M K*L*K']

% jednoznacznosc wektorow wlasnych
K*L*inv(K)
K2 = K*2
K2*L*inv(K2)
K2 = K*(-1)
K2*L*inv(K2)
K2 = K*(-2)
K2*L*inv(K2)

M = [4 2;2 2]
[K,L] = eig(M)
% K*L*inv(K) ("pelny")
% czy K jest odwracalna?
det(K)
inv(K)
K*L*inv(K)
[M K*L*inv(K)]
% K*L*inv(K) ("uproszczony")
% czy K jest ortogonalna?
det(K)
K'*K
[inv(K) K']
K*L*K'
[M K*L*K']

% jednoznacznosc wektorow wlasnych, c.d.
K*L*inv(K)
K*L*K'
K2 = K*2
K2*L*inv(K2)
K2*L*K2'
K2 = K*(-1)
K2*L*inv(K2)
K2*L*K2'
K2 = K*(-2)
K2*L*inv(K2)
K2*L*K2'

M = [1 2 3;4 5 6;7 8 9]
[K,L] = eig(M)
% K*L*inv(K) ("pelny")
% czy K jest odwracalna?
det(K)
inv(K)
K*L*inv(K)
[M K*L*inv(K)]
% K*L*inv(K) ("uproszczony")
% czy K jest ortogonalna?
det(K)
K'*K
[inv(K) K']
K*L*K'
[M K*L*K']

M = [1 2 3;2 3 4;3 4 5]
[K,L] = eig(M)
% K*L*inv(K) ("pelny")
% czy K jest odwracalna?
det(K)
inv(K)
K*L*inv(K)
[M K*L*inv(K)]
% K*L*inv(K) ("uproszczony")
% czy K jest ortogonalna?
det(K)
K'*K
[inv(K) K']
K*L*K'
[M K*L*K']

M = randn(100,100);
[K,L] = eig(M);
L(1,1)
bar([real(diag(L)) imag(diag(L))])
% K*L*inv(K) ("pelny")
% czy K jest odwracalna?
det(K)
K*inv(K)
norm(eye(100) - K*inv(K),'fro')
K*L*inv(K)
norm(M - K*L*inv(K),'fro')
% K*L*inv(K) ("uproszczony")
% czy K jest ortogonalna?
det(K)
K*K'
norm(eye(100) - K*K','fro')
K*L*K'
norm(M - K*L*K','fro')

M = randn(100,100);
M = M+M';
[K,L] = eig(M)
bar([real(diag(L)) imag(diag(L))])
L(1,1)
% K*L*inv(K) ("pelny")
% czy K jest odwracalna?
det(K)
K*inv(K)
norm(eye(100) - K*inv(K),'fro')
K*L*inv(K)
norm(M - K*L*inv(K),'fro')
% K*L*inv(K) ("uproszczony")
% czy K jest ortogonalna?
det(K)
K*K'
norm(eye(100) - K*K','fro')
K*L*K'
norm(M - K*L*K','fro')

M = [0 1;0 0]
%M = [0 0;0 0]
[K,L] = eig(M)
% K = [1 -1;0 0]
% K*L*inv(K) ("pelny")
% czy K jest odwracalna?
det(K)
inv(K)
K*L*inv(K)
[M K*L*inv(K)]
% K*L*inv(K) ("uproszczony")
% czy K jest ortogonalna?
det(K)
K'*K
[inv(K) K']
K*L*K'
[M K*L*K']


% funkcje rozne
M = [1 2 3;2 3 4;3 4 5]
% rozne wersje procedury eig
% -- w tym: ograniczone/truncated/economical
[K,L] = eigs(M,3)
[K,L] = eigs(M,3,'sm')
[K,L] = eigs(M,3,'lm')

% Inne systemy/biblioteki: potencjalne roznice w implementacjach funkcji generujacych wartosci i wektory wlasne
% -- kolejnosc wartwartosci i wektorow wlasnych (rozne wartosci wlasne)
% -- kolejnosc wartosci i wektorow wlasnych (rowne wartosci wlasne)
% -- inna normalizacja wektorow wlasnych
% -- inne znaki wektorow wlasnych
% -- inne wartosci wektorow wlasnych
% -- -- dla niezerowych wartosci wlasnych
% -- -- dla zerowych wartosci wlasnych (K*L*K')