Funktory

• W ogólności uznaje się, że bramki (poza NOT) mogą mieć dowolną liczbę wejść i ich słowny opis działania jest następujący:
  • AND - 1 jeśli wszystkie wejścia były równe 1
  • OR - 1 jeśli co najmniej jedno wejście było równe 1
  • XOR - 1 jeśli nieparzysta liczba wejść była równa 1
  • NAND, NOR, NXOR - tak jak AND, OR i XOR odpowiednio, ale negując wynik
• Bramki NOT nie trzeba stosować bezpośrednio. Dozwolone jest umieszczenie "kółeczka" przy wejściu, które ma zostać zanegowane

Tablice Karnaugh

• Aby znaleźć minimalną funkcję w algebrze Boole'a, która odpowiada zadanej tabelce prawdy, należy skonstruować tabelkę Karnaugh.
• Wiersze i kolumny mają etykiety odpowiadające zmiennym logicznym:
  • dla dwóch zmiennych:

• dla trzech zmiennych:

• dla czterech zmiennych:

• Tabelkę Karnaugh wypełnia się wg tabelki prawdy, ale uwaga na zastosowany kod Graya (w tabelce Karnaugh jest kolejność 00, 01, 11, 10)
• Rozwiązanie "dla jedynek". Szukamy w tabelce skupisk jedynek, które spełniają pewne wymagania:
  • w skupisku musi być liczba jedynek równa 1, 2, 4, 8 lub 16 (potęga dwójki),
  • muszą one ze sobą sąsiadować tzn. tworzyć linię lub prostokąt,
  • sąsiedztwo to określone jest także dla brzegowych miejsc tzn. przykładowo jedynki z pierwszej kolumny mogą tworzyć skupisko z jedynkami z ostatniej kolumny.
• Należy określić takie skupiska, żeby były jak największe i żeby ostatecznie każda jedynka do któregoś należała. Aby zapewnić pierwszą cechę, dopuszczalne jest by pewne jedynki należały do kilku skupisk.
• Przykładowa tabelka:

• Znalezione skupiska: (nie ma żadnych 8- ani 4-elementowych - od nich należało rozpocząć szukanie)

(tutaj właśnie sąsiedztwo jest oparte na brzegowych wartościach)

• Dla każdego skupiska szukamy teraz funkcji, która je opisuje. Patrząc na wiersze i kolumny, szukamy które wejściowe zmienne logiczne mają dla danego skupiska stałą wartość. Spójrzmy na pierwsze skupisko - widać, że A jest dla niego zawsze równe 0, B zmienia się między 0 i 1, C jest zawsze równe 1. Pomijamy zatem B i dla tego skupiska zapisujemy funkcję: ~A*C
• Analogicznie dla kolejnych skupisk otrzymujemy: B*~C oraz ~B*C
• Poszukiwana funkcja dla pierwotnych danych to dysjunkcja znalezionych funkcji dla skupisk:
  f(A, B, C) = (~A*C) + (B*~C) + (~B*C)
  

  [$[Get Code]]
• Rozwiązanie "dla zer" jest analogiczne. Różnica polega na tym, że szukamy skupisk zer i po połączeniu znakami dysjunkcji wszystkich funkcji cząstkowych, otrzymujemy zanegowaną postać funkcji pierwotnej. Zobaczmy to na przykładzie dla tych samych danych:

• Tym razem są dwa skupiska. Jedno z nich jest tylko 1-elementowe, ale musimy je wziąć pod uwagę, bo nie może zostać pominięty żaden element.
• Nasza funkcja wynikowa to:
  ~f(A, B, C) = (~B*~C) + A*B*C
  

  [$[Get Code]]
• Z praw de Morgana można otrzymać oczywiście postać niezanegowaną postać funkcji:
  ~[~f(A, B, C)] = f(A, B, C)
  = ~[(~B*~C) + A*B*C]
  = ~(~B*~C) * ~(A*B*C)
  = (B + C) * (~A + ~B + ~C)
  

  [$[Get Code]]
• Rozwiązania "dla jedynek" i "dla zer" są sobie równoważne. Jak widać z powyższego przykładu, wybór metody czasem prowadzi do różnej liczby kroków do wykonania.

Operacje bitowe w języku C

• Operator AND: &
  int x = 7, y = 10;
  printf("%d\n", x & y); // 2
  /*  
   *   0111b = 7
   *   1010b = 10
   * -------
   * & 0010b = 2
   */

  [$[Get Code]]
• Operator OR: |
  int x = 7, y = 10;
  printf("%d\n", x | y); // 15
  /*
   *   0111b = 7
   *   1010b = 10
   * -------
   * | 1111b = 15
   */

  [$[Get Code]]
• Operator XOR: ^
  int x = 7, y = 10;
  printf("%d\n", x ^ y); // 2
  /*
   *   0111b = 7
   *   1010b = 10
   * -------
   * ^ 1101b = 13
   */

  [$[Get Code]]
• Operator NOT: ~
  int x = 0;
  printf("%d\n", ~x); // -1
  /*
   *   0000b = 0
   * -------
   * ~ 1111b = -1
   */

  [$[Get Code]]
• Operator przesunięcia bitowego w lewo: <<
  int x = 7, y = 1;
  printf("%d\n", x << y); // 28
  /*
   *       0111b = 7
   * -----------
   * << 1  1110b = 14
   */

  [$[Get Code]]
• Operator przesunięcia bitowego w prawo: >>
  int x = 7, y = 1;
  printf("%d\n", x >> y); // 3
  /*
   *       0111b = 7
   * -----------
   * >> 1  0011b = 3
   */

  [$[Get Code]]

Uwaga, zwróć uwagę na różnicę pomiędzy & i &&