Od współrzędnych 3D do struktury 2D

Wprowadzenie

Zazwyczaj wychodząc z sekwencji i struktury 2D staramy się zamodelować/przewidzieć współrzędne 3D
Jednak w określonych sytuacjach postępujemy odwrotnie - ze współrzędnych 3D wyciągamy informację 2D:
- Żeby programowo odpowiedzieć na pytanie “czy obecny jest motyw X?”
- Żeby ze zbioru struktur 3D stworzyć model odtwarzający wiedzę w nich zawartą
Ekstrakcja informacji 2D z 3D polega na szukaniu geometrycznych prawidłowości
Weźmiemy pod uwagę trzy parametry:
- Odległości atomów
- Kąt między płaszczyznami zasad azotowych
- Odległość punktu od płaszczyzny

Odległości atomów

Odległości wyznaczamy wg metryki euklidesowej:
\delta(A, B) = \sqrt{(A.x-B.x)^2 + (A.y-B.y)^2 + (A.z-B.z)^2}
Dla pary kanonicznych RNA, odległości między atomami spełniają poniższe kryteria

Dowolna para R-Y typu Watson-Crick
Atom 1	Atom 2	Min	Max
R:N9	Y:N1	8.51	9.33

Kanoniczna para G-C
Atom 1	Atom 2	Min	Max
G:N1	C:N3	2.67	3.19
G:N2	C:O2	2.44	3.20
G:O6	C:N4	2.61	3.31

Kanoniczna para A-U
Atom 1	Atom 2	Min	Max
A:N1	U:N3	2.53	3.30
A:N6	U:O4	2.57	3.47

Para G-U
Atom 1	Atom 2	Min	Max
G:N1	U:O2	2.29	3.48
G:O6	U:N3	2.39	3.48

Wartość kąta między płaszczyznami zasad azotowych

Każda zasada azotowa tworząca nukleotyd (A, C, G, U) składa się z jednego lub dwóch pierścieni
Atomy tworzące te zasady azotowe leżą w jednej płaszczyźnie
Płaszczyznę możemy wyznaczyć na podstawie dwóch niewspółliniowych wektorów
W przypadku zasad azotowych, możemy wybrać atomy C2, C4 i C6, ponieważ:
- Atomy te występują we wszystkich czterech zasadach azotowych
- Atomy te zawsze tworzą trójkąt i nie ma możliwości by wyznaczone wektory były współliniowe
Kąt między płaszczyznami jest równy kątowi między wektorami normalnymi płaszczyzn
Wektor normalny płaszczyzny wyznaczamy z iloczynu wektorowego
Cosinus kąta między wektorami jest równy iloczynowi skalarnemu
Dla puryn R (czyli A lub G) użyjemy wektorów:
- C4-C6
- C4-C2
Dla pirymidyn Y (czyli C lub U) użyjemy wektorów:
- C2-C4
- C2-C6
Podsumowując, kąt między płaszczyzną zasady azotowej nukleotydu R oraz Y wyznaczamy następująco:
\begin{aligned} v_{11} & = \mathrm{C6_R} - \mathrm{C4_R} \\ v_{12} & = \mathrm{C2_R} - \mathrm{C4_R} \\ v_{21} & = \mathrm{C4_Y} - \mathrm{C2_Y} \\ v_{22} & = \mathrm{C6_Y} - \mathrm{C2_Y} \\ nR & = v_{11} \times v_{12} \\ nY & = v_{21} \times v_{22} \\ cs & = \frac{nR \cdot nY}{|nR| |nY|} \\ ∠_{YR} & = \arccos(cs) \end{aligned}

Gdzie:
- \times oznacza iloczyn wektorowy
- \cdot oznacza iloczyn skalarny
- |v| oznacza długość wektora v
Na potrzeby projektu nie musimy wyznaczać wartości kąta korzystając z \arccos
Wystarczy, że wyznaczymy wartość cs, która dla par kanonicznych RNA jest z przedziału 0.8-1.0 (co odpowiada ok. 0-36 stopni)

Odległość punktu od płaszczyzny

Znając wektor normalny do płaszczyzny oraz dowolny punkt leżący na niej, jesteśmy w stanie wyznaczyć odległość innego punktu do tej płaszczyzny:
\begin{aligned} v_{11} & = \mathrm{C6_R} - \mathrm{C4_R} \\ v_{12} & = \mathrm{C2_R} - \mathrm{C4_R} \\ v_{2} & = \mathrm{C6_Y} - \mathrm{C4_R} \\ nR & = v_{11} \times v_{12} \\ dist & = |nR \cdot v_{2}| \end{aligned}
W przypadku kanonicznych par RNA, odległość ta nie przekracza 5.73

Zadanie

Napisz program, który odczyta plik w formacie PDB oraz:
- Wypisze potencjalne pary G-C na podstawie odległości atomowych (3.0)
- Wypisze dodatkowo potencjalne pary A-U oraz G-U na podstawie odległości atomowych (3.5)
- Sprawdzi każdą potencjalną parę pod względem wartości kąta między płaszczyznami zasad azotowych (4.0)
- Jw. dla odległości punktu od płaszczyzny (4.5)
- Wypisze końcowy wynik w formacie BPSEQ (5.0). Uwaga, trzeba na tym etapie dokonać uspójnienia danych bo proste reguły geometryczne generują również nieprawdziwe pary.
Pliki PDB do testowania
Wyniki do porównania