Wskaźnik jakości -
stabilność
Kryterium Lapunova
Kryterium kołowe
Zastosowanie
teorii hiperstabilności
Najbardziej znana metoda badania
stabilności systemów nieliniowych – metoda Lapunova, dostarcza ścisłe
dowody stabilności.
Posiada jednak szereg istotnych wad.
Wymaga znalezienia specjalnej funkcji Lapunova,
która umożliwiłaby przeprowadzenie dowodu. Jest to zadanie inwentywne, często
trudne do realizacji przez człowieka, i tym bardziej trudne do
zaprogramowania i realizacji komputerowej.
Metoda Lapumova umożliwia przeprowadzenie dowodu praktycznie jedynie dla
sektorów działania układu graniczących z punktem jego równowagi.
Tymczasem przestrzeń działania systemów rozmytych zawiera zwykle również
sektory nie graniczące z tym punktem.
Rys. Wzajemne usytuowanie koła
ograniczeń części nieliniowej i charakterystyki amplitudowo – fazowej części
liniowej układu stabilnego asymptotycznie.
Wartości
k1 i k2 mogą być
zerowe lub nieskończone. Np. dla k1 =
0 koło ograniczeń zamienia się w półpłaszczyznę.
Podstawy teorii hiperstabilności stworzył rumuński
matematyk V.M.Popov. Jej szczególną zaletą jest systematyczność w
organizacji rozwiązywania problemu, zrozumiałość (możliwość wizualizacji
problemu) i możliwość zmniejszenia zakresu badań
analitycznych
przez przerzucenie niektórych kroków metody w zakres badań numerycznych
realizowanych przez komputer (automatyzacja metody). Słowna definicja ma postać:
“Hiperstabilność jest taką
własnością systemu, która gwarantuje, że wektor stanu pozostaje
ograniczony, jeżeli wielkości wejściowe zostaną ograniczone do określonego
podzbioru wszystkich możliwych wielkości wejściowych”.
Hiperstabilność systemu można
w uproszczeniu wytłumaczyć na przykładzie systemu jedno wejście / jedno wyjście.
Jeżeli na wejście systemu podamy sygnał u,
zanikający w skończonym czasie, a więc doprowadzający do systemu
ograniczoną energię, i jeżeli jego skutkiem będzie ograniczony wzrost
poziomu zmiennych stanu x systemu,
czyli ograniczony przyrost ich energii, zależny jedynie od energii dostarczonej
przez sygnał wejściowy oraz ewentualnie dodatkowo od energii potencjalnej
systemu zależnej od jego stanu początkowego, to system można określić
mianem hiperstabilnego.
W systemie hiperstabilnym nie występują więc wewnętrzne
generatory energii, które pobudzone przez ograniczony sygnał wejściowy u
mogłyby spowodować wzrost zmiennych stanu x
tego systemu w sposób niezależny od energii dostarczonej przez sygnał wejściowy,
np. wzrost nieograniczony. Jeżeli dodatkowo stan systemu x(t) będzie
w granicy dążył do wartości zerowych, to system określa się mianem
hiperstabilnego asymptotycznie.