Wskaźnik jakości - stabilność

Kryterium Lapunova           Kryterium kołowe            Zastosowanie teorii hiperstabilności

 

Kryterium Lapunova

Najbardziej znana metoda  badania  stabilności  systemów  nieliniowych  –  metoda  Lapunova, dostarcza ścisłe 
dowody stabilności. Posiada jednak szereg istotnych wad.

 Rys. Przykład podziału przestrzeni działania systemu rozmytego na sektory (P – punkt równowagi).

Rozszerzenie zakresu działania metody Lapunova poza sektor graniczący z punktem równowagi systemu zasadniczo nie jest możliwe. Główną tego przyczyną jest stosowanie kwadratowej formy funkcji Lapunova mającej charakter energii, od której wymagana jest właściwość ciągłej różniczkowalności. Metoda Lapunova oceniana jest jako pracochłonna.

 

Kryterium kołowe

Kryterium to zwane też kryterium Kudrewicza – Cypkina stosowane jest głównie do systemów SISO (jedno wejście – jedno wyjście), które dadzą się drodze przekształceń sprowadzić do układu standardowego, przedstawionego na rysunku poniżej.

Rys. Standardowy układ sterowania typu SISO z nieliniowością statyczną.

składającego się z części liniowej G(s) spełniającej warunki L1 i L2,

L1: wymierność (stopień licznika mniejszy niż stopień mianownika)
L2: asymptotyczna stabilność (wszystkie bieguny leżą jedynie w lewej półpłaszczyźnie zespolonej, z wykluczeniem osi rzędnych),

oraz z części nieliniowej F spełniającej warunki N1¸ N3,

N1: jednoznaczność (jednej wartości wejścia e odpowiada tylko jedna wartość wyjścia u, charakterystyka F(e) nie zawiera histerezy, pamięci),
N2: charakterystyka F(e) złożona jest jedynie z odcinków prostych,

N3: F(0) = 0 (charakterystyka przechodzi przez początek układu współrzędnych).

Warunek L2 asymptotycznej stabilności nie jest jednak warunkiem silnie ograniczającym zastosowanie kryterium, bowiem w wypadku, gdy pierwotna część liniowa G(s) warunku tego nie spełnia, można dodać do układu pierwotnego fikcyjne stopnie swobody przekształcające ten układ w równoważny układ wtórny, spełniający wspomniany warunek. Fikcyjne stopnie swobody powinny być dodawane w taki sposób aby nie zmieniały pierwotnych wejść i wyjść części liniowej i nieliniowej.

Charakterystyczną i bardzo korzystną cechą kryterium kołowego jest to, że pozwala ono udowodnić stabilność układu nie tylko dla jednej charakterystyki statycznej części nieliniowej, lecz dla całej rodziny charakterystyk zawartej między ograniczeniami u = k2*e oraz u = k1*e przedstawionymi niżej

Rys. Górne i dolne ograniczenie rodziny charakterystyk statycznych w kryterium kołowym.

Według kryterium kołowego, standardowy układ regulacji, którego części liniowa i nieliniowa spełniają odpowiednio wymienione wcześniej warunki Li oraz Ni, jest globalnie, asymptotycznie stabilny jeśli koło z centrum umiejscowionym na osi rzeczywistej w punkcie c, o współrzędnej określonej wzorem:

i o promieniu r określonym wzorem:

leży całkowicie (bezstykowo) po lewej stronie charakterystyki amplitudowo – fazowej części liniowej G(jw )

Rys. Wzajemne usytuowanie koła ograniczeń części nieliniowej i charakterystyki amplitudowo – fazowej części liniowej układu stabilnego asymptotycznie.

Wartości k1 i k2 mogą być zerowe lub nieskończone. Np. dla k1 = 0 koło ograniczeń zamienia się w półpłaszczyznę.

 

Zastosowanie teorii hiperstabilności

Podstawy teorii hiperstabilności stworzył rumuński matematyk V.M.Popov. Jej szczególną zaletą jest systematyczność w organizacji rozwiązywania problemu, zrozumiałość (możliwość wizualizacji problemu) i możliwość zmniejszenia zakresu badań analitycznych przez przerzucenie niektórych kroków metody w zakres badań numerycznych realizowanych przez komputer (automatyzacja metody). Słowna definicja ma postać:

“Hiperstabilność jest taką własnością systemu, która gwarantuje, że wektor stanu pozostaje ograniczony, jeżeli wielkości wejściowe zostaną ograniczone do określonego podzbioru wszystkich możliwych wielkości wejściowych”.

Hiperstabilność systemu można w uproszczeniu wytłumaczyć na przykładzie systemu jedno wejście / jedno wyjście. Jeżeli na wejście systemu podamy sygnał u, zanikający w skończonym czasie, a więc doprowadzający do systemu ograniczoną energię, i jeżeli jego skutkiem będzie ograniczony wzrost poziomu zmiennych stanu x systemu, czyli ograniczony przyrost ich energii, zależny jedynie od energii dostarczonej przez sygnał wejściowy oraz ewentualnie dodatkowo od energii potencjalnej systemu zależnej od jego stanu początkowego, to system można określić mianem hiperstabilnego.

W systemie hiperstabilnym nie występują więc wewnętrzne generatory energii, które pobudzone przez ograniczony sygnał wejściowy u mogłyby spowodować wzrost zmiennych stanu x tego systemu w sposób niezależny od energii dostarczonej przez sygnał wejściowy, np. wzrost nieograniczony. Jeżeli dodatkowo stan systemu x(t) będzie w granicy dążył do wartości zerowych, to system określa się mianem hiperstabilnego asymptotycznie.