Statystyka i Analiza danych¶

Laboratorium 10 - Test $\chi^2$¶

Ćwiczenie 1:¶

Typowy rozkład wiekowy ludności w pewnym regionie jest zgodny z podanym w tabeli Typowe. Natomiast w tabeli Zaobserwowane przedstawiono rozkład wiekowy ludności z miasteczka znajdującego się w rozpatrywanym regionie. Sprawdź czy rozkład ten można uznać za zgodny z rozkładem typowym dla tego regionu.

kategorie <- c("<15", "15-24", "25-34", "35-44", "45-54", "55-64", "65-74", ">74")
Typowe <- c(475,304,182,190,208,170,111,72)
Zaobserwowane <- c(3016,2438,2037,2031,1253,977,585,163)

Sformuuj hipotezy zerową i alternatywną, zinterpretuj hipotezy. Przyjęty poziom istotności $\alpha = 0.01$.

# H0: 
# H1:
alpha <- 0.01

Oblicz liczbę stopni swobody:

df <- length(Zaobserwowane)-1

Oblicz tabelę wartości oczekiwanych:

Oczekiwane <- Typowe/sum(Typowe) * sum(Zaobserwowane)

Oblicz wartość statystyki testowej:

chi2 <- sum((Zaobserwowane-Oczekiwane)^2/Oczekiwane)
chi2

Wyznacz wartość krytyczną i podejmij decyzję.

qchisq(1 - alpha,df)
# Odrzucamy H0

Wykonaj test korzystając z funkcji chisq.test(), podając jako pierwszy argument liczebności zaobserwowane, a jako parametr p -- odpowiadające im prawdopodobieństwa założone w hipotezie zerowej

chisq.test(Zaobserwowane, p=Oczekiwane/sum(Oczekiwane))

	Chi-squared test for given probabilities

data:  Zaobserwowane
X-squared = 1172.2, df = 7, p-value < 2.2e-16

Czyścimy workspace:

rm(list = ls())

Ćwiczenie 2¶

Dane do tego zadania opisują wszystkie osoby (2201) na pokładzie dużego statku wycieczkowego z punktu widzenia 3 prostych atrybutów jakościowych i pewnego rodzaju, nieznanego, jakościowego atrybutu decyzyjnego (zadowolenie z wycieczki? sympatia do kapitana? Co to są za dane?). Sporządź tabelę wielodzielczą i wykres. Wykonaj test niezależności chi-kwadrat dla atrybutów: płeć i wiek, klasa i decyzja.

Dane <- read.csv(url("http://www.cs.put.poznan.pl/swilk/siad/11-cw2.csv"), sep=";")

Przyjmij poziom istotności 0.001:

alpha = 0.001

Utwórz tablicę wielodzielczą dla atrybutów wiek i płeć korzystając z funkcji table()

WiekPlec <- table(Dane$Age, Dane$Sex)
WiekPlec

       
        Female Male
  Adult    402 1666
  Child     45   64

Stwórz wykres tablicy korzystając z funkcji plot()

plot(WiekPlec)

Oblicz sumę obserwacji oraz liczebności brzegowe korzystając z funkcji margin.table() podając jako pierwszy argument tablicę wielodzielczą, jako drugi 1 dla wierszy a 2 dla kolumn

margin_rows <- margin.table(WiekPlec, 1)
margin_cols <- margin.table(WiekPlec, 2)
total <- sum(margin_rows)

Oblicz liczbę stopni swobody:

df <- (length(margin_rows)-1)*(length(margin_cols)-1)

Oblicz tablicę wartości oczekiwanych. Utwórz macierz korzystając z funkcji outer(margin_rows, margin_cols), wykonującej iloczyn zewnętrzny/Kroneckera (iloczyny wszystkich kombinacji współrzędnych wektorów)

E =outer(margin_rows, margin_cols) / total

Oblicz wartość statystyki testowej:

chi2  <- sum((WiekPlec - E)^2/E)
chi2

Podaj wartość krytyczną i podejmij decyzję odnośnie hipotezy zerowej:

qchisq(1 - alpha, df)

Wykonaj test korzystając z funkcji chisq.test() podając jako argument tablicę wielodzielczą

chisq.test(WiekPlec, correct=FALSE)

	Pearson's Chi-squared test

data:  WiekPlec
X-squared = 30.283, df = 1, p-value = 3.734e-08

Wykonaj wszystkie powyższe czynności dla atrybutów klasa i decyzja. Tablica wielodzielcza:

KlasaDecyzja <- table(Dane$Class, Dane$Decision)

Wykres tablicy:

plot(KlasaDecyzja)

Suma obserwacji oraz liczebności brzegowe:

margin_rows <- margin.table(KlasaDecyzja, 1)
margin_cols <- margin.table(KlasaDecyzja, 2)
total <- sum(margin_rows)

Liczba stopni swobody:

df <- (length(margin_rows)-1)*(length(margin_cols)-1)

Tablica wartości oczekiwanych:

E =outer(margin_rows, margin_cols) / total

Wartość statystyki testowej:

chi2  <- sum((KlasaDecyzja - E)^2/E)
chi2

Wartość krytyczna i decyzja:

qchisq(1 - alpha, df)
# Odrzucamy H0

Test używając funkcji chisq.test():

chisq.test(KlasaDecyzja)

	Pearson's Chi-squared test

data:  KlasaDecyzja
X-squared = 203.16, df = 3, p-value < 2.2e-16

Czyszczenie przestrzeni roboczej:

rm(list = ls())

Ćwiczenie 3¶

lotto  <- read.csv("lotto.csv",sep="\t")

lotto

chisq.test(lotto$Wystąpień, p=rep(1/49, 49))

	Chi-squared test for given probabilities

data:  lotto$Wystąpień
X-squared = 46.282, df = 48, p-value = 0.5435

Liczba	Wystąpień
<int>	<int>
1	102
2	96
3	102
4	105
5	96
6	126
7	108
8	94
9	103
10	104
11	95
12	110
13	135
14	100
15	103
16	115
17	116
18	118
19	101
20	113
21	90
22	88
23	106
24	107
25	105
26	93
27	101
28	110
29	105
30	106
31	102
32	118
33	112
34	103
35	106
36	100
37	109
38	119
39	94
40	102
41	110
42	117
43	85
44	109
45	106
46	99
47	84
48	94
49	96